TUGAS MATEMATIKA FANNY ANDRIYANI (X-E)

RUMUS JUMLAH N SUKU PERTAMA SUATU DERET GEOMETRI

Deret geometeri adalah barisan bilangan yang dapat dikenali melalui ladanya rasio (r) yang sama antara suku ke-n dengan suku ke-(n+1). Contoh deret geometri adalah 2, 4, 8, 16, 32, dan seterusnya di mana pada deret geometri tersebut terdapat rasio r = 2 antara suku ke-n dengan suku ke-(n+1).

Penjumlahan bilangan-bilangan yang membentuk suatu deret geometri dapat menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret geometri. Pada deret geometri yang terdiri dari delapan bilangan (n = 8), jumlah delapan bilangan tersebut dapat diketahui dengan rumus S8 deret geometri.

Pada deret aritmatika yang terdiri dari n bilangan maka jumlah n suku pertama dapat diketahui dengan rumus Sn deret geometri. Bentuk rumus jumlah n suku pertama deret geometri yang biasa digunakan ada dua.

Bentuk pertama adalah rumus jumlah n suku pertama untuk deret geometri turun  (rasio kurang dari 1). Dan bentuk kedua adalah rumus jumlah n suku pertama untuk deret geometri naik (rasio lebih dari satu).

1. Dari suatu barisan aritmetika, diketahui suku ketiga adalah 36 dan jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….A. 840

B. 660
C. 640
D. 630
E. 315

Pembahasan:
Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat diperoleh beberapa informasi seperti berikut.

• Barisan aritmetika
• Suku ketiga: U3 = 36
  a + 2b = 36
  2b = 36 ‒ a
  b = 18 ‒ 1/2a
• Jumlah suku kelima dan ketujuh: U5 + U7 = 144
  (a + 4b) + (a + 6b) = 144
  2a + 10b = 144
  a + 5b = 72

Menentukan nilai a dengan cara substitusi persamaan b = 18 ‒ 1/2a ke persamaan a + 5b = 72 seperti yang dilakukan pada cara berikut.

a + 5b = 72
a + 5(18 ‒ 1/2a) = 72
a + 90 ‒ 5/2a = 72
a ‒ 5/2a = 72 ‒ 90
‒3/2a = ‒18
a = ‒18 × ‒2/3 = 12

Menentukan nilai b:
b = 18 ‒ 1/2a
b = 18 ‒ 1/2 × 12
b = 18 ‒ 6 = 12

Menghitung jumlah sepuluh suku pertama (S10):
S10 = 10/2(2×12 + 9×12)
S10 = 5(24 + 108)
S10 = 5 × 132 = 660

Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 660.

Jawaban: B

2. Un merupakan suku ke-n dalam suatu deret atau barisan dengan rumus U_n = ar^n-1. , berikut contoh soalnya:

Dengan susunan bilangan geometri 1, 3, 9, 27, 81, …. Hitung berapa suku ke-6 dari barisan tersebut (Un = 6).

Pembahasan:

U_n = ar^n-1 

U₆ = ar^6-1 = 1 x 3⁵ = 1 x 243 = 243 

Jadi, nilai dari suku keenam dalam deret bilangan tersebut adalah 243.

3. Sn merupakan jumlah dari semua suku-suku dalam barisan geometri. Untuk lebih mudah dalam memahami, berikut salah satu contoh soal deret geometri beserta jawabannya lengkap kelas 11 dalam perhitungan Sn:

Deret geometri: 1, 3, 9, 27, 81, …. Hitunglah berapa nilai Sn dalam deret tersebut (n = 3) !

Pembahasan: a

S_n = a (rⁿ – 1) / r – 1

S₃ = 1 (3³ – 1) / 3 – 1

S₃ = (1 x 26) / 2

S₃ = 13

Maka, nilai dari Sn untuk n = 3 adalah 13.

4. Apabila diketahui suatu deret angka 5 + 15 + 45 + …

Maka, berapakah jumlah 6 suku pertama dari deret tersebut?

Pembahasan:

Diketahui: a = 5, r = 3

Sehingga jumlah enam suku pertama yakni:

Sn = a (rⁿ – 1) / r – 1

S₆ = 5 (3⁶ – 1) / 3 – 1 = 3.640 / 2 = 1.820

Jadi, jumlah dari 6 suku pertama barisan geometri tersebut adalah 1.820.

5. Diketahui suatu bilangan membentuk deret geometri 4 + 12 + 36 + 108 +… Carilah berapa jumlah dari tujuh suku pertamanya!

Diketahui: a = 4, r = 3, n = 7

Sehingga jumlah enam suku pertama yakni:

Sn = a (rⁿ – 1) / r – 1

S₆ = 4 (37 – 1) / 3 – 1 = 4372

Maka dari hasil perhitungan, jumlah tujuh suku pertamanya adalah 4372.

TERIMA KASIH